Um Novo Método de Reconstrução de Obstáculos

Suelen Rocha¹; André Novotny¹

¹ Laboratório Nacional de Computação Científica

doi:10.20906/CPS/CILAMCE2015-0272

Resumo

Em 1903, o matemático francês Jacques Hadamard introduziu o conceito de problema bem posto. A partir das definições introduzidas por Hadamard, surgiu a classificação dos problemas em diretos e inversos. Problemas inversos geralmente são mal postos e dividem-se em duas grandes classes: reconstrução e identificação. Estes problemas surgem naturalmente em diversas áreas tais como: matemática, engenharia e medicina. Como exemplo citamos a detecção de tumores, o monitoramento de fluídos e a detecção de corrosão em estruturas. Uma vasta quantidade de problemas inversos estão relacionados com a determinação da forma ou topologia de um conjunto imerso em um domínio geométrico conhecido. O objetivo deste trabalho é apresentar um novo método de reconstrução de obstáculos. Mais precisamente, dada uma excitação deseja-se obter a solução de um problema inverso de reconstrução consistindo na detecção de furos no interior de um dado domínio geométrico a partir de leituras parciais da resposta à referida excitação. Este problema é escrito na forma de uma equação diferencial parcial sobredeterminada. Essa dificuldade é contornada reescrevendo o problema inverso em um problema de otimização, consistindo na minimização de um funcional de forma que mede a diferença entre o dado lido e o calculado numericamente, utilizando o conceito de derivada topológica. O algoritmo resultante é não-iterativo e portanto extremamente robusto a presença de ruido. Vários exemplos numéricos de reconstrução são apresentados, cujos resultados são obtidos utilizando apenas uma medida e sem a necessidade de introduzir qualquer tipo de regularização.

Palavras-chave: Análise da sensibilidade topológica; Derivada topológica; Problema inverso