Método dos Mínimos Quadrados: Teoria

Daniel Fernandes Mutran; Alireza Mohebi Ahstiani

doi:10.20906/CPS/SICITE2015-0478

Resumo

O método dos mínimos quadrados é, provavelmente, a técnica mais popular na Estatística, uma vez que os estimadores mais comuns podem ser construídos através dessa técnica; e usando os quadrados faz com que, matematicamente, os métodos dos quadrados mínimos sejam muito tratáveis, pois pelo Teorema de Pitágoras, quando o erro é independente de uma quantidade estimada, o erro quadrado pode ser somado à quantidade estimada. Ou seja, os dados que o método retorna para o usuário é muito confiável, sendo claro suas popularidade no meio das ciências exatas, além da engenharia, e qualquer outra área que envolva estimativas. Além disso, as ferramentas matemáticas envolvidas no problema dos quadrados mínimos como, por exemplo, derivadas e técnicas de decomposição, têm sido bem estudados por muito tempo. Isso pois, há muitos anos surgiu um problema para os astrônomos da época, que era encontrar um asteroide, que na época acreditava-se ser mais um planeta do Sistema Solar, pois este havia se escondido atrás do Sol. Como então determinar a órbita de um corpo celeste com apenas algumas anotações registradas? Gauss, com sua aparente facilidade com a matemática aplicada, consegue criar um método para achar a órbita, e ainda, quando Ceres, o asteroide, reapareceria. A aproximação por quadrados mínimos é, portanto, um método de otimização que consiste em encontrar a função que melhor se ajusta a um determinado conjunto de pontos. Procura-se minimizar o erro resultante do ajuste dos pontos a uma curva, obtida pela diferença dos valores tabelados e obtidos pela aproximação, minimizando o quadrado da soma destas funções. O objetivo deste trabalho é estudar a teoria dos métodos dos quadrados mínimos, bem como alguns métodos de resolução do problema deste método.

Palavras-chave: Método dos quadrados mínimos; Ajuste de curva; Decomposição